O Problema de Monty Hall
Este problema ficou muito famoso após uma das edições da revista Parade nos EUA. Nela, a colunista Marilyn vos Savant, a pessoa de QI mais elevado do mundo à época, respondia à seguinte questão de um de seus leitores, sobre o programa de TV do apresentador Monty Hall (tente encontrar a resposta antes de seguir à resolução):
Imagine que você está em um programa de TV, e lhe é dada a escolha de 3 portas: atrás de uma delas, está um carro; das outras, bodes. Você escolhe, digamos, a porta número 1, e o anfitrião, que sabe o que há atrás das portas, abre uma outra, digamos, número 3, que contém um bode. Ele, então, lhe diz, “você gostaria de trocar para a porta número 2?” Pergunta-se: é vantajosa a troca?
Se você achou o problema simples, ou é um gênio, ou terá uma senhora surpresa a seguir. Pegue um lápis e uma folha de papel, pois resposta dada por Marilyn vos Savant, apesar de certa, enraiveceu e enlouqueceu tanto leigos quanto renomados pesquisadores e até mesmo alguns receptores do prêmio Nobel. O correto é mudar de porta. A probabilidade de vitória caso mudemos é de 2/3, e não 1/2, como imaginamos a princípio, já que temos 2 portas, uma com um carro e outra com um bode. Calma, uma explicação virá a seguir.
O problema fica um pouco mais claro se desenharmos a árvore de probabilidades como na imagem acima. Há duas decisões a serem feitas, uma escolha inicial basicamente aleatória e uma segunda, após Monty Hall abrir uma das portas e perguntar se gostaríamos de mudar de opinião. Devido a essas duas etapas, a árvore terá profundidade 2, como visto no digrama acima.
A probabilidade de escolhermos inicialmente o carro é de 1/3, e a de escolhermos um bode, de 2/3 consequentemente. A seguir, na segunda fase do desafio, temos que analisar os casos em que mudamos ou não de opinião. Para o caso de termos escolhido inicialmente o carro, se ficarmos, é certo que ganheremos, assim, a probabilidade condicional será de 1; por outro lado, se mudarmos de porta, acabamos por invariavelmente perder, ou seja, a probabilidade condicional de vitória é, então, nula.
Após realizarmos o mesmo raciocínio para o outro lado da árvore, podemos chegar aos valores à direita da imagem, com meras multiplicações das fatores condicionais, isto é, as respectivas probabilidades de ganharmos. Vemos então que:
\[P(Ganhar \, ao \, Ficar) = \frac{1}{3}\]\[P(Ganhar \, ao \, Mudar) = \frac{2}{3}\]
Se você não entendeu ou não consegue aceitar a resolução até agora, fique calmo, o problema é realmente bastante contraintuitivo. Há duas outras maneiras alternativas que creio serem bem mais palatáveis de se compreender.
A primeira seria fazer uma breve análise de conjunto. Na escolha inicial, temos dois conjuntos, a nossa porta (P = 1/3) e as outras duas (P = 2/3). Ao abrir uma das portas do segundo conjunto, Monty está zerando a probabilidade de vitória que estaria embutida nela, mais precisamente, a metade dos 2/3. Porém, a probabilidade de 2/3 deve permanecer para o conjunto, já que era um dado a priori, e, assim, temos que a outra porta, acaba concentrando o que era atribuído às duas, totalizando os 2/3.
A segunda resolução alternativa é, na verdade, somente uma analogia para que possamos melhor compreender a lógica por trás do problema, e foi, inclusive, uma sugestão da própria Marilyn. A ideia é aumentar absurdamente o número de portas para, por exemplo, 1,000,000. Se, agora, Monty, depois de nossa primeira escolha, abrisse 999,999,998 portas, sentimo-nos muito mais compelidos a trocar, não? Similarmente ao método alternativo anterior, teríamos que nossa probabilidade de vitória se ficarmos com a primeira seria de 1/1,000,000 e, se mudarmos, de 999,999,999/1,000,000. Você mudaria agora? Psicólogos, depois de realizadas pesquisas, chegaram à conclusão de que as pessoas começam a perceber que vale mais a pena trocar após o número de portas chegar a 7.
Não se preocupe se, ainda depois de todos esses volteios, não ficou muito clara a resposta. Paul Erdös, um dos então matemáticos mais renomados no campo da probabilidade, precisou de inúmeras explicações e, ainda adicionalmente, uma simulação computacional para aceitá-la. Creio que o maior impecílio para a resolução do problema seja o fato de não levarmos em consideração a informação adicional que Monty está nos fornecendo. Se tivéssemos somente duas portas, uma com um bode e outra com um carro, certamente, a probabilidade de vitória seria de 1/2. Mas Monty está nos dando informação privilegiada! Isso deveria valer alguma coisa, não?